Metode Greedy dan Dynamic Programming

TUGAS

ALGORITMA DAN STRUKTUR DATA

                                 

STRATEGI ALGORITMA

(METODE GREEDY DAN DYNAMIC PROGRAMMING)

 

INDAH KEMALA KHAYATI

 (H12111265)

MATEMATIKA-STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS HASANUDDIN

MAKASSAR

2012

1.      Metode Greedy

Metode greedy adalah metode yang digunakan untuk memecahkan persoalan optimasi. Ada 2 macam persoalan optimasi, yaitu maksimasi dan minimasi, artinya dengan metode greedy kita bemaksud mencari solusi terbaik, yaitu solusi yang benilai minimum atau maksimum dari sekumpulan alternatif solusi yang ada.

Metode/Algoritma Greedy merupakan algoritma yang membentuk solusi langkah per langkah. Prinsip utama algoritma greedy adalah “take what you can get now!”. Maksud dari prinsip tersebut adalah pada setiap langkah dalam algoritma greedy, kita ambil keputusan yang paling optimal untuk langkah tersebut tanpa memperhatikan konsekuensi pada langkah selanjutnya dan keputusan tersebut tidak dapat diubah lagi pada langkah selanjutnya.. Kita namakan solusi tersebut dengan optimum lokal. Kemudian saat pengambilan nilai optimum lokal pada setiap langkah, diharapkan tercapai optimum global, yaitu tercapainya solusi optimum yang melibatkan keseluruhan langkah dari awal sampai akhir.

Contohnya adalah pada kasus penukaran uang, misalkan kita memiliki uang senilai $12.356 dan akan kita tukarkan dengan koin, uang koin pecahan yang tersedia adalah $1, $5, $10, $100 dan $200 jika kita mengharapkan agar pecahan yang kita miliki sedikit mungkin maka kita bisa menggunakan metode greedy dengan cara memilih pecahan terbesar terlebih dahulu. Mari kita lihat.
uang $12.356, pecahan $1, $5, $10, $100 dan $200

·         Himpunan solusi fesible untuk $12.356 yaitu {$1, $5, $10, $100, $200}. Dengan metode greedy kita harus memilih pecahan terbesar terlebih dahulu yaitu $200, kemudian baru mengambil sampai sesuai dengan uang yang kita miliki.

·         Himpunan solusi fesible untuk $152 yaitu {$1, $5, $10, $100}

·         Himpunan solusi fesible untuk $52 yaitu {$1, $5, $10}

·        

Total jumlah koin minimum : 69 koin (solusi optimal).

Dalam hal ini metode greedy berhasil mendapatkan hasil maksimal secara global atau secara  keseluruhan dengan mengambil koin yang terbesar terlebih dahulu.

Elemen-elemen yang digunakan dalam penerapan algoritma greedy antara lain :

1.      Himpunan Kandidat, himpunan yang berisi elemen pembentuk solusi.

2.      Himpunan Solusi, himpunan yang terpilih sebagai solusi persoalan.

3.      Fungsi Seleksi, fungsi yang memilih kandidat yang paling mungkin untuk mencapai solusi optimal.

4.      Fungsi Kelayakan, fungsi yang memeriksa apakah suatu kandidat yang dipilih dapat memberikan solusi yang layak. Maksudnya yaitu apakah kandidat tersebut bersama dengan himpunan solusi yang sudah terbentuk tidak melanggar kendala yang ada.

5.      Fungsi Solusi, fungsi yang mengembalikan nilai boolean. True jika himpunan solusi yang sudah tebentuk merupakan solusi yang lengkap; False jika himpunan solusi belum lengkap.

6.      Fungsi Objektif, fungsi yang mengoptimalkan solusi.

Pada masalah penukaran uang:

•         Himpunan kandidat: himpunan koin yang merepresentasikan nilai $1, $5, $10, $100 dan $200 paling sedikit mengandung satu koin untuk setiap nilai.

•         Himpunan solusi: total nilai koin yang dipilih tepat sama jumlahnya dengan nilai uang yang ditukarkan.

•         Fungsi seleksi: pilihlah koin yang bernilai tertinggi dari himpunan kandidat yang tersisa.

•         Fungsi layak: memeriksa apakah nilai total dari himpunan koin yang dipilih tidak melebihi jumlah uang yang harus dibayar.

•         Fungsi obyektif: jumlah koin yang digunakan minimum.

Warning: Optimum global belum tentu merupakan solusi optimum (terbaik), tetapi sub-optimum atau pseudo-optimum. Alasan:

1.      Algoritma greedy tidak beroperasi secara menyeluru terhadap semua alternatif solusi yang ada.

2.      Terdapat beberapa fungsi SELEKSI yang berbeda, sehingga kita harus memilih fungsi yang tepat jika kita ingin algoritma menghasilkan solusi optiamal.

Jadi, pada sebagian masalah algoritma greedy tidak selalu berhasil memberikan solusi yang optimal. Namun kelebihannya yaitu waktunya lebih efisien dalam memecahkan masalah.

Contoh : tinjau masalah penukaran uang.

(a)        Koin: 5, 4, 3, dan 1

            Uang yang ditukar = 7.

            Solusi greedy:  7 = 5 + 1 + 1  ( 3 koin) à tidak optimal

            Solusi optimal: 7 = 4 + 3         ( 2 koin)

(b)        Koin: 10, 7, 1

            Uang yang ditukar: 15

            Solusi greedy:  15 = 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1    (6 koin)

            Solusi optimal: 15 = 7 + 7 + 1             (hanya 3 koin)

 (c)       Koin: 15, 10, dan 1

            Uang yang ditukar: 20

            Solusi greedy: 20 = 15 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1     (6 koin)

            Solusi optimal: 20 = 10 + 10                           (2 koin)

2.      Dynamic Programming (Program Dinamis)

Program Dinamis (dynamic programming) adalah metode pemecahan masalah dengan cara menguraikan solusi menjadi sekumpulan langkah (step) atau tahapan (stage) sedemikian sehingga solusi dari persoalan dapat dipandang dari serangkaian keputusan  yang saling berkaitan.

Kelebihan       : Solusi yang dihasilkan lebih akurat.

Kekurangan : Memerlukan waktu yang lama dibanding metode Greedy dalam memecahkan masalah karena menguraikan solusi dalam beberapa tahap.

Pada penyelesaian persoalan dengan metode ini:

(1)   terdapat sejumlah berhingga pilihan yang mungkin,

(2)   solusi pada setiap tahap dibangun dari hasil solusi tahap sebelumnya,

(3)   kita menggunakan persyaratan optimasi dan kendala untuk membatasi sejumlah pilihan yang harus dipertimbangkan pada suatu tahap.

Tinjau graf pada gambar di bawah. Kita ingin menemukan lintasan terpendek dari 1 ke 10.

Graf untuk persoalan lintasan terpendek

Pada program dinamis, rangkaian keputusan yang optimal dibuat dengan menggunakan Prinsip Optimalitas. Pada Prinsip Optimalitas: jika solusi total optimal, maka bagian solusi sampai tahap ke-k juga optimal. Prinsip optimalitas berarti bahwa jika kita bekerja dari tahap k ke tahap k + 1, kita dapat menggunakan hasil optimal dari tahap k tanpa harus kembali ke tahap awal. Jika pada setiap tahap kita menghitung ongkos (cost), maka dapat dirumuskan bahwa

ongkos pada tahap k +1 =

(ongkos yang dihasilkan pada tahap k )  + (ongkos dari tahap k ke tahap k + 1)

Dengan prinsip optimalitas ini dijamin bahwa pengambilan keputusan pada suatu tahap adalah keputusan yang benar untuk tahap-tahap selanjutnya. Pada metode greedy hanya satu rangkaian keputusan yang pernah dihasilkan, sedangkan pada metode program dinamis lebih dari satu rangkaian keputusan. Hanya rangkaian keputusan yang memenuhi prinsip optimalitas yang akan dihasilkan.

Karakteristik Persoalan Program Dinamis

1.      Persoalan dapat dibagi menjadi beberapa tahap (stage), yang pada setiap tahap hanya diambil satu keputusan.

2.      Masing-masing tahap terdiri dari sejumlah status (state) yang berhubungan dengan tahap tersebut. Secara umum, status merupakan bermacam kemungkinan masukan yang ada pada tahap tersebut.

Graf multitahap (multistage graph). Tiap simpul di dalam graf tersebut menyatakan status, sedangkan V₁, V₂, … menyatakan tahap.

Graf yang menyatakan tahap (stage) dan status (state)

3.      Hasil dari keputusan yang diambil pada setiap tahap ditransformasikan dari status yang bersangkutan ke status berikutnya pada tahap berikutnya.

4.      Ongkos (cost) pada suatu tahap meningkat secara teratur (steadily) dengan bertambahnya jumlah tahapan.

5.    Ongkos pada suatu tahap bergantung pada ongkos tahap-tahap yang sudah berjalan dan ongkos pada tahap tersebut.

6.    Keputusan terbaik pada suatu tahap bersifat independen terhadap keputusan yang dilakukan pada tahap sebelumnya.

7.    Adanya hubungan rekursif yang mengidentifikasikan keputusan terbaik untuk setiap status pada tahap k memberikan keputusan terbaik untuk setiap status pada tahap k + 1.

8.    Prinsip optimalitas berlaku pada persoalan tersebut.

Dua pendekatan yang digunakan dalam PD: maju (forward atau up-down) dan mundur (backward atau bottom-up). Misalkan x₁, x₂, …, x_n menyatakan peubah (variable) keputusan yang harus dibuat masing-masing untuk tahap 1, 2, …, n. Maka,

a.      Program dinamis maju. Program dinamis bergerak mulai dari tahap 1, terus maju ke tahap 2, 3, dan seterusnya sampai tahap n. Runtunan peubah keputusan adalah x₁, x₂, …, x_n.

b.      Program dinamis mundur. Program dinamis bergerak mulai dari tahap n, terus mundur ke tahap n – 1, n – 2, dan seterusnya sampai tahap 1. Runtunan peubah keputusan adalah x_n, x_n-1, …, x₁.

Secara umum, ada empat langkah yang dilakukan dalam mengembangkana algoritma program dinamis:

1.       Karakteristikkan struktur solusi optimal.

2.       Definisikan secara rekursif nilai solusi optimal.

3.       Hitung nilai solusi optimal secara maju atau mundur.

4.       Konstruksi solusi optimal.

Contoh Persoalan 1: Lintasan Terpendek (Shortest Path)

Tentukan lintasan terpendek dari simpul 1 ke simpul 10:

Penyelesaian dengan Program Dinamis Mundur

Misalkan x₁, x₂, …, x₄ adalah simpul-simpul yang dikunjungi pada tahap k (k = 1, 2, 3, 4). Maka rute yang dilalui adalah 1®x₁®x₂®x₃®x₄ , yang dalam hal ini x₄ = 10.

Pada persoalan ini,

1.      Tahap (k) adalah proses memilih simpul tujuan berikutnya (ada 4 tahap).

2.      Status (s) yang berhubungan dengan masing-masing tahap adalah simpul-simpul di dalam graf.

Relasi rekurens berikut menyatakan lintasan terpendek dari status s ke x₄ pada tahap k:

                              (basis)

,   (rekurens)       

k = 1, 2, 3

Keterangan:

a.       x_k  : peubah keputusan pada tahap k   (k = 1, 2, 3).

b.       : bobot (cost) sisi dari s ke x_k

c.        f_k(s, x_k) : total bobot lintasan dari s ke x_k

d.      f_k(s) : nilai minimum dari f_k(s, x_k)

 

Tujuan program dinamis mundur: mendapatkan f₁(1) dengan cara mencari f₄(s), f₃(s), f₂(s) terlebih dahulu.

 

Tahap 4:

s	Solusi Optimum
	f4(s)	x4*
8	3	10
9	4	10

Catatan: x_k^* adalah nilai x_k yang meminimumkan f_k(s, x_k).

Tahap 3:

x3 s	f3(s, x3) = cs,x3 + f4(x3)		Solusi Optimum
	8	9	f3(s)	x3*
5	4	8	4	8
6	9	7	7	9
7	6	7	6	8

 

Tahap 2

x2 s	f2(s, x2) = cs,x2 + f3(x2)			Solusi Optimum
	5	6	7	f2(s)	x2*
2	11	11	12	11	5 atau 6
3	7	9	10	7	5
4	8	8	11	8	5 atau 6

 

Tahap 1:

x1 s	f1(s, x1) = cs,x1 + f2(x1)			Solusi Optimum
	2	3	4	f1(s)	x1*
1	13	11	11	11	3 atau 4

Solusi optimum dapat dibaca pada tabel di bawah ini:

	x1	x2	x3	x4	Panjang Lintasan Terpendek
1	3 4	5 5 6	8 8 9	10 10 10	11 11 11

Jadi ada tiga lintasan terpendek dari 1 ke 10, yaitu

            1 ® 3 ® 5 ® 8 ® 10

            1 ® 4 ® 5 ® 8 ® 10

            1 ® 4 ® 6 ® 9 ® 10

yang mana panjang ketiga lintasan tersebut sama, yaitu 11.

Contoh Persoalan 2:  Integer 0/1 Knapsack.

Penyelesaian dengan Program Dinamis Maju

Pada persoalan ini,

1.      Tahap (k) adalah proses memasukkan barang ke dalam truk (ada 3 tahap).

2.      Status (y) menyatakan kapasitas muat truk yang tersisa setelah memasukkan barang pada tahap sebelumnya.

Dari tahap ke-1, kita masukkan objek ke-1 ke dalam karung untuk setiap satuan kapasitas karung sampai batas kapasitas maksimumnya. Karena kapasitas karung adalah bilangan bulat, maka pendekatan ini praktis. Misalkan ketika memasukkan objek pada tahap k, kapasitas muat karung sekarang adalah  y – w_k. Untuk mengisi kapasitas sisanya, kita menerapkan prinsip optimalitas dengan mengacu pada nilai optimum dari tahap sebelumnya untuk kapasitas sisa y – w_k ( yaitu f_k-1(y – w_k)). Selanjutnya, kita bandingkan nilai keuntungan dari objek pada tahap k (yaitu p_k) plus nilai f_k-1(y – w_k) dengan keuntungan pengisian hanya k – 1 macam objek, f_k-1(y). Jika p_k + f_k-1(y – w_k)  lebih kecil dari f_k-1(y), maka objek yang ke-k tidak dimasukkan ke dalam karung, tetapi jika lebih besar, maka objek yang ke-k dimasukkan.

Relasi rekurens untuk persoalan ini adalah

f₀(y) = 0,      y = 0, 1, 2, …, M             (basis)  

f_k(y) = -¥,   y < 0                                  (basis)

f_k(y) = max{f_k-1(y), p_k + f_k-1(y – w_k)},  (rekurens)         

k = 1, 2, …, n 

yang dalam hal ini, f_k(y) adalah keuntungan optimum dari persoalan 0/1 Knapsack pada tahap k untuk kapasitas karung sebesar y. f₀(y) = 0 adalah nilai dari persoalan knapsack kosong (tidak ada persoalan knapscak) dengan kapasitas y, f_k(y) = -¥ adalah nilai dari persoalan knapsack untuk kapasitas negatif. Solusi optimum dari persoalan 0/1 Knapsack adalah f_n(M).

Contoh: n = 3

M = 5  

Barang ke-i	wi	pi
1	2	65
2	3	80
3	1	30

 

Tahap 1:

            f₁(y) = max{f₀(y), p₁ + f₀(y – w₁)}

       = max{f₀(y), 65 + f₀(y – 2)}         

y			Solusi Optimum
	f0(y)	65 + f0(y – 2)	f1(y)	(x1*, x2*, x3*)
0	0	-¥	0	(0, 0, 0)
1	0	-¥	0	(0, 0, 0)
2	0	65	65	(1, 0, 0)
3	0	65	65	(1, 0, 0)
4	0	65	65	(1, 0, 0)
5	0	65	65	(1, 0, 0)

Tahap 2:

f₂(y)      = max{f₁(y), p₂ + f₁(y – w₂)}

= max{f₁(y), 80 + f₁(y – 3)}    

y			Solusi Optimum
	f1(y)	80 + f1(y – 3)	f2(y)	(x1*, x2*, x3*)
0	0	80 + (-¥) = -¥	0	(0, 0, 0)
1	0	80 + (-¥) = -¥	0	(0, 0, 0)
2	65	80 + (-¥) = -¥	65	(1, 0, 0)
3	65	80 + 0 = 80	80	(0, 1, 0)
4	65	80 + 0 = 80	80	(0, 1, 0)
5	65	80 + 65 = 145	145	(1, 1, 0)

Tahap 3:

f₃(y)      = max{f₂(y), p₃ + f₂(y – w₃)}

= max{f₂(y), 30 + f₂(y – 1)}    

y			Solusi Optimum
	f2(y)	30 + f2(y – 1)	f3(y)	(x1*, x2*, x3*)
0	0	30 + (-¥) = -¥	0	(0, 0, 0)
1	0	30 + (-¥) = -¥	0	(0, 0, 0)
2	65	30 + 0 = 30	65	(1, 0, 0)
3	80	30 + 65 = 95	95	(1, 0, 1)
4	80	30 + 80 = 110	110	(0, 1, 1)
5	145	30 + 80 = 110	145	(1, 1, 0)

Solusi optimum X = (1, 1, 0) dengan åp = f = 145.

Contoh Lain :

                                          

                                          5                                4

                                                    6                           3

                                                  5  

                        3                                                        4            3             

                                                   4                                                                                    5                          

                             2                     5                                                     

                                                                                                 6                    

                       3                             5          6                                   2                           6

                                                      2                                               

                                                                                               5      

                                                            4

                                                                       

Dari A ke L, tentukan jalur tercepat yang dapat ditempuh!

Metode Greedy:

Langkah pertama, dari A kita pilih jalur tercepat menuju L melalui B, C atau D. Maka kita pilih jalur C karena waktunya lebih efisien (2 menit), langkah selanjutnya dari C kita pilih jalur F yang memakan waktu 4 menit dibanding G (5 menit) dan H (6 menit), kemudian ke jalur J, memakan waktu 3 menit dan terakhir langsung ke L (5 menit). Sehingga waktu minimum yang ditempuh yaitu 14 menit.

Dynamic Programming:

Dibagi menjadi beberapa step

                                          

                                          5                   I            4

                                                    6                           3

                                       I            5  

                        3             I                                      I    4            3              I                                                                                     

                                       I           4                                                       I                            5                           

                             2        I            5                                                      I

                                        I                                      I                 6                     I

                       3                   I        5          6                                   2                            6

                                        I             2                                                Step 3

                                                                           I                   5      

                                                Step 1              4

                                                                        Step 2

Step 2

Dist (E) =                 cost (E) = 8

Dist (F) =                 cost (F) = 6

Dist (G) =                cost (G) = 7

Dist (H) =               cost (H) = 5

Dist (I) =                  cost (I)  = 7

Step 3

Dist (J) =               cost (J) =  6+3 = 9

Dist (K) =            cost (K) = 5+2 = 7

Dist (L) =         cost (L) = 7 + 6= 13

Jadi, dengan dynamic programming, kita dapatkan hasil yang lebih akurat dan waktunya lebih efisien yaitu 13 menit dengan jalur (A, D, H, K, L).

Tugas

Terdapat empat bentuk bangun persegi yang berbeda seperti dibawah ini ( A,B,C,D) . Susun keempat balok agar dapat masuk ke dalam kotak berbentuk persegi panjang yang luasnya 35x15 meter dengan menyisakan luas yang sangat kecil.

                            

Metode Greedy:

Luas bangun A,B,C,D berturut-turut (12,14,8,16).  Pada kasus ini, untuk menyisakan luasan yang sangat kecil, ide terbaik yang kita ambil adalah

1.      Menyusun bangun yang mempunyai luas terbesar yakni bangun D menjadi berbentuk kotak seperti dibawah ini, kita peroleh bangun baru E (8x8 = 64 ).

                 

2.      Memasukkan E kedalam kotak persegi panjang hingga tidak bisa dimasukkan lagi. Terlihat hanya 4 buah bangun E yang bisa dimasukkan, panjang kotak bersisa

35-(8x4) = 3m dan lebar kotak bersisa 15-8 = 7m

3.      Kemudian, kita masukkan lagi bangun terluas dan cukup menempati panjang 35 m dan lebar 7 m yakni bangun C dan D yang disusun sedemikian rupa sehingga membentuk seperti ini

l

4.      Lebar 7 m tadi telah bersisa 7 - 6 = 1 m dan karena tidak ada bangun yang bersisi 1 m maka sisanya sudah tidak bisa diisi bangun lagi. Namun lebarnya bersisa 3m, dimana masih bisa diisi oleh bangun C seperti gambar di atas.

Daerah yang berwarna abu-abu merupakan luas sisa.

Luas Sisa       = Luas Keseluruhan – Luas yang Terisi

                       = (35x15) – (4E+11C+8D)

                       = 525 – (4.64 + 11.8 + 8.16)

                       = 525 – (256 + 88 + 128 )

                       = 525 – 472

                       = 53

Dengan metode greedy diperoleh Luas Sisa 53 .

Dynamic Programming:

1.      Membuat Kotak dari bangun B, diperoleh bangun F yang baru dengan luas 7 x 4 = 28

2.      Kotak persegi panjang dibagi menjadi dua. Bagian 1 (8 x 35)m dan bagian 2 (7x35)m

3.      Tahap 1 diambil  satu keputusan yaitu isi bagian atas seperti ini

4.      Ditahap 2 diambil satu keputusan : isi bagian bawah seperti ini

Daerah yang berwarna merah merupakan luas sisa

Luas Sisa       = Luas Keseluruhan – Luas yang Terisi

                       = (35x15) – (18F+C)

                       = 525 – (18.28 + 8)

                       = 525 – (512 )

                       = 13

Dengan dynamic programming diperoleh Luas Sisa 13 . Dapat kita lihat bahwa luas sisa yang diperoleh dengan dynamic programming adalah ¼ luas sisa dengan metode greedy. Dapat kita simpulkan bahwa dengan dynamic programming luas sisa yang diperoleh lebih kecil (lebih optimal).